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In mwdqgeometria un mwdgpoligono (dal mwdwgreco πολύς (polys, "molti") e γωνία (gōnia, "angolo") è una mweafigura geometrica piana delimitata da una mweqlinea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si chiamano mweglati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono mwewvertici del poligono.

• Definizione

• Sulla parte delimitata

• Classificazione

• Numero di lati

• Convessità

• Simmetria con uguaglianza

• Proprietà

• Angoli

• Area

• Nomi di poligono

• Voci correlate

• Altri progetti

• Collegamenti esterni

Una definizione di poligono è la seguente.

Un mwgqpoligono è la parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa.

Ricordiamo che una linea spezzata è l'insieme finito e totalmente ordinato di segmenti, detti lati, che sono ordinatamente consecutivi e ordinatamente non adiacenti. Una linea spezzata è mwgwchiusa quando il secondo estremo dell'ultimo segmento coincide con il primo estremo del primo. Una linea spezzata è mwhasemplice (o mwhqnon intrecciata) se due lati non successivi, secondo l'ordinamento assegnato, non si intersecano (a parte il primo e l'ultimo lato che possono avere in comune rispettivamente il primo e il secondo estremo).

Il punto in comune a due lati consecutivi è detto mwhwvertice.

Il fatto che una linea spezzata chiusa non intrecciata delimiti effettivamente una porzione di piano è, per quanto intuitivo, un risultato non banale della mwiggeometria piana: si tratta di una conseguenza del mwiwteorema della curva di Jordan.

Una definizione costruttiva è la seguente: un punto mwjq P {\displaystyle P} del piano appartiene al poligono se (con al più un numero finito di eccezioni) tutte le mwjgsemirette uscenti da mwjw P {\displaystyle P} intersecano la spezzata in un numero finito e mwkadispari di punti distinti.

Una prima classificazione di un poligono riguarda il suo numero di lati (vedi i mwlanomi di poligono).

Un poligono è:

se i lati del poligono non si intersecano.

se non è semplice.

Un poligono semplice è:

se ogni angolo interno è minore o uguale ad un mwpaangolo piatto (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di ogni segmento che congiunge due suoi vertici va al di fuori del poligono).

se anche un solo angolo interno è maggiore di mwpw 180 ∘ ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} (o, equivalentemente, se il prolungamento immaginario di uno o più segmenti cade all'interno del poligono).

In base alla simmetria, un poligono è:

se tutti i suoi lati sono uguali.

se tutti i suoi angoli sono uguali.

se tutti i suoi vertici giacciono su un'unica mwtacirconferenza.

se è convesso, equilatero ed equiangolo (o, equivalentemente, se è ciclico ed equilatero).

se non è regolare.

La somma degli angoli interni di un poligono è pari a tanti angoli piatti quanti sono i suoi lati (mwwq n {\displaystyle n} ), meno due

mwxa 180 ∘ ∘ × × ( n − − 2 ) . {\displaystyle 180^{\circ }\times (n-2).}

Ad esempio, il poligono in figura ha cinque lati, e quindi:

mwya α α + β β + γ γ + δ δ + ε ε = ( 5 − − 2 ) × × 180 ∘ ∘ = 540 ∘ ∘ . {\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta +\varepsilon =(5-2)\times 180^{\circ }=540^{\circ }.}

La dimostrazione può essere svolta per mwyginduzione: in un triangolo la somma degli angoli è mwyw 180 ∘ ∘ {\displaystyle 180^{\circ }} , e preso un qualunque poligono una sua diagonale lo divide in due altri poligoni con un numero minore di lati, per cui si può far valere l'ipotesi induttiva.

La somma degli angoli esterni di un poligono convesso con mwzq n {\displaystyle n} lati è uguale a

mwaa ( 360 ∘ ∘ × × n ) − − [ 180 ∘ ∘ × × ( n − − 2 ) ] = 180 ∘ ∘ × × ( n + 2 ) . {\displaystyle (360^{\circ }\times n)-[180^{\circ }\times (n-2)]=180^{\circ }\times (n+2).}

In quanto la somma di tutti gli angoli esterni e interni è, evidentemente, uguale a mwag n {\displaystyle n} volte un mwawangolo giro: sottraendo al totale la somma di quelli interni, avremo la somma di quelli esterni.

Con la mwbgformula dell'area di Gauss è possibile calcolare l'area di un poligono con mwbw n {\displaystyle n} vertici aventi mwcacoordinate cartesiane mwcq ( x i ; y i ) i = 1 , … … , n {\displaystyle (x_{i};y_{i})_{i=1,\ldots ,n}} nel modo seguente:

mwda A = 1 2 | ∑ ∑ i = 1 n x i y i + 1 − − ∑ ∑ i = 1 n x i + 1 y i | {\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i+1}-\sum _{i=1}^{n}x_{i+1}y_{i}\right|}

con la convenzione che mwdg ( x n + 1 ; y n + 1 ) = ( x 1 ; y 1 ) {\displaystyle (x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})} .

Con questa formula possiamo ricavare una superficie di una qualsiasi figura piana attraverso le coordinate dei suoi vertici. È una formula molto utilizzata nella topografia e nella trigonometria.

Distinzione in base al numero di lati e, quindi, di angoli:

| N° lati | Nome |

|---|---|

| 3 | Triangolo |

| 4 | Quadrilatero |

| 5 | Pentagono |

| 6 | Esagono |

| 7 | Ettagono |

| 8 | Ottagono |

| 9 | Ennagono |

| 10 | Decagono |

| 11 | Endecagono |

| 12 | Dodecagono |

| 13 | Tridecagono |

| 14 | Tetradecagono |

| 15 | Pentadecagono |

| 16 | Esadecagono |

| 17 | Eptadecagono |

| 18 | Ottadecagono |

| 19 | Ennadecagono |

| 20 | Icosagono |

| 21 | Endeicosagono |

| 22 | Doicosagono |

| 23 | Triaicosagono |

| 24 | Tetraicosagono |

| 25 | Pentaicosagono |

| 26 | Esaicosagono |

| 27 | Eptaicosagono |

| 28 | Ottaicosagono |

| 29 | Ennaicosagono |

| 30 | Triacontagono |

| 40 | Tetracontagono |

| 50 | Pentacontagono |

| 60 | Esacontagono |

| 70 | Eptacontagono |

| 80 | Ottacontagono |

| 90 | Ennacontagono |

| 100 | Hectogono |

| 257 | 257-gono |

| 1 000 | Chiliagono |

| 10 000 | Miriagono |

| 65 537 | 65537-gono |

• mwasePoligono iperbolico

• mwasmPoligono regolare

• mwasuPoligono stellato

• mwascPoliedro

• mwaskPolitopo

Altri progetti

• Wikizionario

• Wikimedia Commons

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «poligono»

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sul poligono

• Problemi di geometria piana su Wikiversity

• citereftreccani-itpoligono, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefenciclopedia-italianaPOLIGONO, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1935.

• citerefvocabolario-treccaniPolìgono¹, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.

• citerefsapere-itpolìgono, su sapere.it, De Agostini.

• citerefenciclopedia-della-matematica-2013poligono, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefenciclopedia-della-matematica-2013Poligono, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.

• citerefbritannica-com(EN) polygon, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.

• citerefopen-library(EN) Opere riguardanti Polygons, su Open Library, Internet Archive.

• citerefmathworld(EN) Eric W. Weisstein, Polygon, su MathWorld, Wolfram Research.

• citerefspringereom(EN) Polygon, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.

• mwata(FR) mwatepoligoni, poliedri e politopi da mwatiMathcurve, mwatmEncyclopédie des formes Mathématiques remarquables